Скорость распространения волны (Ерюткин Е.С.). Длина волны
1. Механические волны, частота волны. Продольные и поперечные волны.
2. Волновой фронт. Скорость и длина волны.
3. Уравнение плоской волны.
4. Энергетические характеристики волны.
5. Некоторые специальные разновидности волн.
6. Эффект Доплера и его использование в медицине.
7. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани.
8. Основные понятия и формулы.
9. Задачи.
2.1. Механические волны, частота волны. Продольные и поперечные волны
Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v.
Например, если в жидкую или газообразную среду поместить колеблющееся тело, то колебательное движение тела будет передаваться прилегающим к нему частицам среды. Они, в свою очередь, вовлекают в колебательное движение соседние частицы и так далее. При этом все точки среды совершают колебания с одинаковой частотой, равной частоте колебания тела. Эта частота называется частотой волны.
Волной называется процесс распространения механических колебаний в упругой среде.
Частотой волны называется частота колебаний точек среды, в которой распространяется волна.
С волной связан перенос энергии колебаний от источника колебаний к периферийным участкам среды. При этом в среде возникают
периодические деформации, которые переносятся волной из одной точки среды в другую. Сами частицы среды не перемещаются вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому распространение волны не сопровождается переносом вещества.
В соответствии с частотой механические волны делятся на различные диапазоны, которые указаны в табл. 2.1.
Таблица 2.1. Шкала механических волн
В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны, различают продольные и поперечные волны.
Продольные волны - волны, при распространении которых частицы среды колеблются вдоль той же прямой, по которой распространяется волна. При этом в среде чередуются области сжатия и разряжения.
Продольные механические волны могут возникать во всех средах (твердых, жидких и газообразных).
Поперечные волны - волны, при распространении которых частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения волны. При этом в среде возникают периодические деформации сдвига.
В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии и не возникают при сдвиге, поэтому поперечные волны в этих средах не образуются. Исключение составляют волны на поверхности жидкости.
2.2. Волновой фронт. Скорость и длина волны
В природе не существует процессов, распространяющихся с бесконечно большой скоростью, поэтому возмущение, созданное внешним воздействием в одной точке среды, достигнет другой точки не мгновенно, а спустя некоторое время. При этом среда делится на две области: область, точки которой уже вовлечены в колебательное движение, и область, точки которой еще находятся в равновесии. Поверхность, разделяющая эти области, называется фронтом волны.
Фронт волны - геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошло колебание (возмущение среды).
При распространении волны ее фронт перемещается, двигаясь с некоторой скоростью, которую называют скоростью волны.
Скоростью волны (v) называется скорость перемещения ее фронта.
Скорость волны зависит от свойств среды и типа волны: поперечные и продольные волны в твердом теле распространяются с различными скоростями.
Скорость распространения всех типов волн определяется при условии слабого затухания волны следующим выражением:
где G - эффективный модуль упругости, ρ - плотность среды.
Скорость волны в среде не следует путать со скоростью движения частиц среды, вовлеченных в волновой процесс. Например, при распространении звуковой волны в воздухе средняя скорость колебаний его молекул порядка 10 см/с, а скорость звуковой волны при нормальных условиях около 330 м/с.
Форма волнового фронта определяет геометрический тип волны. Простейшие типы волн по этому признаку - плоские и сферические.
Плоской называется волна, у которой фронтом является плоскость, перпендикулярная направлению распространения.
Плоские волны возникают, например, в закрытом поршнем цилиндре с газом, когда поршень совершает колебания.
Амплитуда плоской волны остается практически неизменной. Ее слабое уменьшение по мере удаления от источника волны связано с вязкостью жидкой или газообразной среды.
Сферической называется волна, у которой фронт имеет форму сферы.
Такой, например, является волна, вызываемая в жидкой или газообразной среде пульсирующим сферическим источником.
Амплитуда сферической волны при удалении от источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.
Для описания ряда волновых явлений, например интерференции и дифракции, используют специальную характеристику, называемую длиной волны.
Длиной волны называется расстояние, на которое перемещается ее фронт за время, равное периоду колебаний частиц среды:
Здесь v - скорость волны, Т - период колебаний, ν - частота колебаний точек среды, ω - циклическая частота.
Так как скорость распространения волны зависит от свойств среды, то длина волны λ при переходе из одной среды в другую изменяется, в то время как частота ν остается прежней.
Данное определение длины волны имеет важную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим рис. 2.1 а, на котором показаны смещения точек среды в некоторый момент времени. Положение фронта волны отмечено точками А и В.
Через время Т, равное одному периоду колебаний, фронт волны переместится. Его положения показаны на рис. 2.1, б точками А 1 и В 1 . Из рисунка видно, что длина волны λ равна расстоянию между соседними точками, колеблющимися в одинаковой фазе, например расстоянию между двумя соседними максимумами или минимумами возмущения.
Рис. 2.1.
Геометрическая интерпретация длины волны
2.3. Уравнение плоской волны
Волна возникает в результате периодических внешних воздействий на среду. Рассмотрим распространение плоской волны, созданной гармоническими колебаниями источника:
где х и - смещение источника, А - амплитуда колебаний, ω - круговая частота колебаний.
Если некоторая точка среды удалена от источника на расстояние s, а скорость волны равна v, то возмущение, созданное источником, достигнет этой точки через время τ = s/v. Поэтому фаза колебаний в рассматриваемой точке в момент времени t будет такой же, как фаза колебаний источника в момент времени (t - s/v), а амплитуда колебаний останется практически неизменной. В результате колебания данной точки будут определяться уравнением
Здесь мы использовали формулы для круговой частоты (ω
= 2π/Т) и длины волны (λ
= v
T).
Подставив это выражение в исходную формулу, получим
Уравнение (2.2), определяющее смещение любой точки среды в любой момент времени, называется уравнением плоской волны. Аргумент при косинусе - величина φ = ωt - 2π s/λ - называется фазой волны.
2.4. Энергетические характеристики волны
Среда, в которой распространяется волна, обладает механической энергией, складывающейся из энергий колебательного движения всех ее частиц. Энергия одной частицы с массой m 0 находится по формуле (1.21): Е 0 = m 0 Α 2 ω 2 /2. В единице объема среды содержится n = p /m 0 частиц (ρ - плотность среды). Поэтому единица объема среды обладает энергией w р = nЕ 0 = ρ Α 2 ω 2 /2.
Объемная плотность энергии (\¥ р) - энергия колебательного движения частиц среды, содержащихся в единице ее объема:
где ρ - плотность среды, А - амплитуда колебаний частиц, ω - частота волны.
При распространении волны энергия, сообщаемая источником, переносится в удаленные области.
Для количественного описания переноса энергии вводят следующие величины.
Поток энергии (Ф) - величина, равная энергии, переносимой волной через данную поверхность за единицу времени:
Интенсивность волны или плотность потока энергии (I) - величина, равная потоку энергии, переносимой волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны:
Можно показать, что интенсивность волны равна произведению скорости ее распространения на объемную плотность энергии
2.5. Некоторые специальные разновидности
волн
1. Ударные волны. При распространении звуковых волн скорость колебания частиц не превышает нескольких см/с, т.е. она в сотни раз меньше скорости волны. При сильных возмущениях (взрыв, движение тел со сверхзвуковой скоростью, мощный электрических разряд) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука. При этом возникает эффект, называемый ударной волной.
При взрыве нагретые до высоких температур продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают тонкий слой окружающего воздуха.
Ударная волна - распространяющаяся со сверхзвуковой скоростью тонкая переходная область, в которой происходит скачкообразное возрастание давления, плотности и скорости движения вещества.
Ударная волна может обладать значительной энергией. Так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50 % всей энергии взрыва. Ударная волна, достигая объектов, способна вызвать разрушения.
2. Поверхностные волны. Наряду с объемными волнами в сплошных средах при наличии протяженных границ могут существовать волны, локализованные вблизи границ, которые играют роль волноводов. Таковы, в частности, поверхностные волны в жидкости и упругой среде, открытые английским физиком В. Стреттом (лордом Релеем) в 90-х годах 19 века. В идеальном случае волны Релея распространяются вдоль границы полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком приповерхностном слое.
Поверхностные волны - волны, которые распространяются вдоль свободной поверхности тела или вдоль границы тела с другими средами и быстро затухают при удалении от границы.
Примером таких волн могут служить волны в земной коре (сейсмические волны). Глубина проникновения поверхностных волн составляет несколько длин волн. На глубине, равной длине волны λ, объемная плотность энергии волны составляет приблизительно 0,05 ее объемной плотности на поверхности. Амплитуда смещения быстро убывает при удалении от поверхности и на глубине нескольких длин волн практически исчезает.
3. Волны возбуждения в активных средах.
Активно возбудимая, или активная, среда - непрерывная среда, состоящая из большого числа элементов, каждый из которых обладает запасом энергии.
При этом каждый элемент может находиться в одном из трех состояний: 1 - возбуждение, 2 - рефрактерность (невозбудимость в течение определенного времени после возбуждения), 3 - покой. В возбуждение могут перейти элементы только из состояния покоя. Волны возбуждения в активных средах называют автоволнами. Автоволны - это самоподдерживающиеся волны в активной среде, сохраняющие свои характеристики постоянными за счет распределенных в среде источников энергии.
Характеристики автоволны - период, длина волны, скорость распространения, амплитуда и форма - в установившемся режиме зависят только от локальных свойств среды и не зависят от начальных условий. В табл. 2.2 представлено сходство и различие автоволн и обычных механических волн.
Автоволны можно сопоставить с распространением пожара в степи. Пламя распространяется по области с распределенными запасами энергии (по сухой траве). Каждый последующий элемент (сухая травинка) зажигается от предыдущего. И таким образом распространяется фронт волны возбуждения (пламя) по активной среде (сухой траве). При встрече двух очагов пожара пламя исчезает, так как исчерпаны запасы энергии - вся трава выгорела.
Описание процессов распространения автоволн в активных средах используется при изучении распространения потенциалов действия по нервным и мышечным волокнам.
Таблица 2.2. Сравнение автоволн и обычных механических волн
2.6. Эффект Доплера и его использование в медицине
Христиан Доплер (1803-1853) - австрийский физик, математик, астроном, директор первого в мире физического института.
Эффект Доплера состоит в изменении частоты колебаний, воспринимаемой наблюдателем, вследствие относительного движения источника колебаний и наблюдателя.
Эффект наблюдается в акустике и оптике.
Получим формулу, описывающую эффект Доплера, для случая, когда источник и приемник волны движутся относительно среды вдоль одной прямой со скоростями v И и v П соответственно. Источник совершает гармонические колебания с частотой ν 0 относительно своего равновесного положения. Волна, созданная этими колебаниями, распространяется в среде со скоростью v. Выясним, какую частоту колебаний зафиксирует в этом случае приемник.
Возмущения, создаваемые колебаниями источника, распространяются в среде и достигают приемника. Рассмотрим одно полное колебание источника, которое начинается в момент времени t 1 = 0
и заканчивается в момент t 2 = T 0 (T 0 - период колебаний источника). Возмущения среды, созданные в эти моменты времени, достигают приемника в моменты t" 1 и t" 2 соответственно. При этом приемник фиксирует колебания с периодом и частотой:
Найдем моменты t" 1 и t" 2 для случая, когда источник и приемник движутся навстречу
друг другу, а начальное расстояние между ними равно S. В момент t 2 = T 0 это расстояние станет равным S - (v И + v П)T 0 , (рис. 2.2).
Рис. 2.2.
Взаимное расположение источника и приемника в моменты t 1 и t 2
Эта формула справедлива для случая, когда скорости v и и v п направлены навстречу
друг другу. В общем случае при движении
источника и приемника вдоль одной прямой формула для эффекта Доплера принимает вид
Для источника скорость v И берется со знаком «+», если он движется в направлении приемника, и со знаком «-» в противном случае. Для приемника - аналогично (рис. 2.3).
Рис. 2.3. Выбор знаков для скоростей источника и приемника волн
Рассмотрим один частный случай использования эффекта Доплера в медицине. Пусть генератор ультразвука совмещен с приемником в виде некоторой технической системы, которая неподвижна относительно среды. Генератор излучает ультразвук, имеющий частоту ν 0 , который распространяется в среде со скоростью v. Навстречу системе со скоростью v т движется некоторое тело. Сначала система выполняет роль источника (v И = 0), а тело - роль приемника (v Tl = v Т). Затем волна отражается от объекта и фиксируется неподвижным приемным устройством. В этом случае v И = v Т, а v п = 0.
Применив формулу (2.7) дважды, получим формулу для частоты, фиксируемой системой после отражения испущенного сигнала:
При приближении
объекта к датчику частота отраженного сигнала увеличивается,
а при удалении - уменьшается.
Измерив доплеровский сдвиг частоты, из формулы (2.8) можно найти скорость движения отражающего тела:
Знак «+» соответствует движению тела навстречу излучателю.
Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов. Схема соответствующей установки для измерения скорости крови показана на рис. 2.4.
Рис. 2.4.
Схема установки для измерения скорости крови: 1 - источник ультразвука, 2 - приемник ультразвука
Установка состоит из двух пьезокристаллов, один из которых служит для генерации ультразвуковых колебаний (обратный пьезоэффект), а второй - для приема ультразвука (прямой пьезоэффект), рассеянного кровью.
Пример . Определить скорость кровотока в артерии, если при встречном отражении ультразвука (ν 0 = 100 кГц = 100 000 Гц, v = 1500 м/с) от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг частоты ν Д = 40 Гц.
Решение. По формуле (2.9) найдем:
v 0 = v Д v /2v 0 = 40x 1500/(2x 100 000) = 0,3 м/с.
2.7. Анизотропия при распространении поверхностных волн. Действие ударных волн на биологические ткани
1. Анизотропия распространения поверхностных волн. При исследовании механических свойств кожи с помощью поверхностных волн на частоте 5-6 кГц (не путать с УЗ) проявляется акустическая анизотропия кожи. Это выражается в том, что скорости распространения поверхностной волны во взаимно перпендикулярных направлениях - вдоль вертикальной (Y) и горизонтальной (Х) осей тела - различаются.
Для количественной оценки степени выраженности акустической анизотропии используется коэффициент механической анизотропии, который вычисляется по формуле:
где v у - скорость вдоль вертикальной оси, v x - вдоль горизонтальной оси.
Коэффициент анизотропии принимается за положительный (К+), если v y > v x при v y < v x коэффициент принимается за отрицательный (К -). Численные значения скорости поверхностных волн в коже и степени выраженности анизотропии являются объективными критериями для оценки различных воздействий, в том числе и на кожу.
2. Действие ударных волн на биологические ткани. Во многих случаях воздействия на биологические ткани (органы) необходимо учитывать возникающие при этом ударные волны.
Так, например, ударная волна возникает при ударе тупым предметом по голове. Поэтому при проектировании защитных касок заботятся о том, чтобы погасить ударную волну и предохранить затылок при лобовом ударе. Этой цели и служит внутренняя лента в каске, которая на первый взгляд кажется необходимой лишь для вентиляции.
Ударные волны возникают в тканях при воздействии на них высокоинтенсивного лазерного излучения. Часто после этого в коже начинают развиваться рубцовые (или иные) изменения. Это, например, имеет место в косметологических процедурах. Поэтому, для того чтобы снизить вредное воздействие ударных волн, необходимо заранее рассчитывать дозирование воздействия с учетом физических свойств как излучения, так и самой кожи.
Рис. 2.5.
Распространение радиальных ударных волн
Ударные волны используются в радиальной ударно-волновой терапии. На рис. 2.5 показано распространение радиальных ударных волн от аппликатора.
Такие волны создаются в приборах, снабженных специальным компрессором. Радиальная ударная волна генерируется пневматическим методом. Поршень, находящийся в манипуляторе, двигается с большой скоростью под воздействием управляемого импульса сжатого воздуха. Когда поршень ударяет по аппликатору, установленному в манипуляторе, его кинетическая энергия превращается в механическую энергию области тела, на которую оказывалось воздействие. При этом для снижения потерь при передаче волн в воздушной прослойке, находящейся между аппликатором и кожей, и для обеспечения хорошей проводимости ударных волн используется контактный гель. Обычный режим работы: частота 6-10 Гц, рабочее давление 250 кПа, число импульсов за сеанс - до 2000.
1. На корабле включают сирену, подающую сигналы в тумане, и спустя t = 6,6 с слышно эхо. Как далеко находится отражающая поверхность? Скорость звука в воздухе v = 330 м/с.
Решение
За время t звук проходит путь 2S: 2S = vt →S = vt/2 = 1090 м. Ответ: S = 1090 м.
2. Каков минимальный размер предметов, положение которых могут определить летучие мыши с помощью своего сенсора, имеющего частоту 100 000 Гц? Каков минимальный размер предметов, которые могут обнаружить дельфины с использованием частоты 100 000 Гц?
Решение
Минимальные размеры предмета равны длине волны:
λ 1 = 330 м/с / 10 5 Гц = 3,3 мм. Таков примерно размер насекомых, которыми питаются летучие мыши;
λ 2 = 1500 м/с / 10 5 Гц = 1,5 см. Дельфин может обнаружить небольшую рыбку.
Ответ: λ 1 = 3,3 мм; λ 2 = 1,5 см.
3. Сначала человек видит вспышку молнии, а через 8 с после этого слышит удар грома. На каком расстоянии от него сверкнула молния?
Решение
S = v зв t = 330x 8 = 2640 м. Ответ: 2640 м.
4. Две звуковые волны имеют одинаковые характеристики, за исключением того, что длина волны одной в два раза больше, чем у другой. Которая из них переносит большую энергию? Во сколько раз?
Решение
Интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату частоты (2.6) и обратно пропорциональна квадрату длины волны (ω = 2πv/λ). Ответ: та, у которой длина волны меньше; в 4 раза.
5. Звуковая волна, имеющая частоту 262 Гц, распространяется в воздухе со скоростью 345 м/с. а) Чему равна ее длина волны? б) За какое время фаза в данной точке пространства меняется на 90°? в) Чему равна разность фаз (в градусах) между точками, отстоящими друг от друга на 6,4 см?
Решение
а) λ = v/ν = 345/262 = 1,32 м;
в) Δφ = 360°s/λ= 360x 0,064/1,32 = 17,5°. Ответ: а) λ = 1,32 м; б) t = T/4; в) Δφ = 17,5°.
6. Оценить верхнюю границу (частоту) ультразвука в воздухе, если известна скорость его распространения v = 330 м/с. Считать, что молекулы воздуха имеют размер порядка d = 10 -10 м.
Решение
В воздухе механическая волна является продольной и длина волны соответствует расстоянию между двумя ближайшими сгущениями (или разряжениями) молекул. Так как расстояние между сгущениями никак не может быть меньше размеров молекул, то заведомо предельным случаем следует считать d = λ. Из этих соображений имеем ν = v/λ = 3,3x 10 12 Гц. Ответ: ν = 3,3x 10 12 Гц.
7. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями v 1 = 20 м/с и v 2 = 10 м/с. Первая машина подает сигнал с частотой ν 0 = 800 Гц. Скорость звука v = 340 м/с. Какой частоты сигнал услышит водитель второй машины: а) до встречи машин; б) после встречи машин?
8.
Когда поезд проходит мимо, Вы слышите, как частота его свистка изменяется от ν 1 = 1000 Гц (при приближении) до ν 2 = 800 Гц (когда поезд удаляется). Чему равна скорость поезда?
Решение
Эта задача отличается от предыдущих тем, что нам неизвестна скорость источника звука - поезда - и неизвестна частота его сигнала ν 0 . Поэтому получается система уравнений с двумя неизвестными:
Решение
Пусть v - скорость ветра, и он дует от человека (приемник) к источнику звука. Относительно земли они неподвижны, а относительно воздушной среды оба движутся вправо со скоростью u.
По формуле (2.7) получим частоту звука. воспринимаемую человеком. Она неизменна:
Ответ:
частота не изменится.
Абсолютно все в этом мире происходит с какой-либо скоростью . Тела не перемещаются моментально, для этого требуется время. Не являются исключением и волны, в какой бы среде они не распространялись.
Скорость распространения волны
Если вы бросите камень в воду озера, то возникшие волны дойдут до берега не сразу. Для продвижения волн на некоторое расстояние необходимо время, следовательно, можно говорить о скорости распространения волн.
Скорость волны зависит от свойств среды, в которой она распространяется. При переходе из одной среды в другую, скорость волн меняется. Например, если вибрирующий железный лист засунуть концом в воду, то вода покроется рябью маленьких волн, однако скорость их распространения будет меньше, чем в железном листе. Это несложно проверить даже в домашних условиях. Только не порежьтесь о вибрирующий железный лист...
Длина волны
Существует еще одна важная характеристика это длина волны. Длина волны это такое расстояние, на которое распространяется волна за один период колебательных движений . Легче понять это графически.
Если зарисовать волну в виде рисунка или графика, то длиной волны будет являться расстояние между любыми ближайшими гребнями либо впадинами волны, либо между любыми другими ближайшими точками волны, находящимися в одинаковой фазе.
Так как длина волны это расстояние, пройденное ею, то и найти эту величину можно, как и любое другое расстояние, умножив скорость прохождения на единицу времени. Таким образом, длина волны связана со скоростью распространения волны прямо пропорционально. Найти длину волны можно по формуле:
где λ длина волны, v скорость волны, T период колебаний.
А учитывая, что период колебаний обратно пропорционален частоте этих же колебаний: T=1⁄υ, можно вывести связь скорости распространения волны с частотой колебаний :
v=λυ .
Частота колебаний в разных средах
Частота колебаний волн не меняется при переходе из одной среды в другую. Так, например, частота вынужденных колебаний совпадает с частотой колебаний источника. Частота колебаний не зависит от свойств среды распространений. При переходе из одной среды в другую меняется лишь длина волны и скорость ее распространения.
Эти формулы справедливы как для поперечных, так и для продольных волн. При распространении продольных волн длина волны будет расстоянием между двумя ближайшими точками с одинаковым растяжением или сжатием. Она также будет совпадать с расстоянием, пройденным волной за один период колебаний, поэтому формулы будут полностью подходить и в этом случае.
Что нужно знать и уметь?
1.Определение длины волны.
Длина волны - это расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах.
ЭТО ИНТЕРЕСНО
Сейсмические волны.
Сейсмическими волнами называются волны, распространяющиеся в Земле от очагов землетрясений или каких-нибудь мощных взрывов. Так как Земля в основном твердая, в ней одновременно могут возникать 2 вида волн - продольные и поперечные. Скорость этих волн разная: продольные распространяются быстрее поперечных. Например, на глубине 500 км скорость поперечных сейсмических волн 5км/с, а скорость продольных волн - 10км/с.
Регистрацию и запись колебаний земной поверхности, вызанных сейсмическими волнами, осуществляют с помощью приборов - сейсмографов. Распространяясь от очага землетрясения, первыми на сейсмическую станцию приходят продольные волны, а спустя некоторое время - поперечные. Зная скорость распространения сейсмических волн в земной коре и время запаздывания поперечной волны, можно определить расстояние до центра землетрясения. Чтобы узнать точнее, где он находится, используют данные нескольких сейсмических станций.
Ежегодно на земном шаре регистрируют сотни тысяч землетрясений. Подавляющее большинство из них относится к слабым, однако время от времени наблюдаются и такие. которые нарушают целостность грунта, разрушают здания и ведут к человеческим жертвам.
Интенсивность землетрясений оценивается по 12-бальной шкале.
1948 год - г. Ашхабад -землетрясение 9-12 баллов
1966 год - г. Ташкент - 8 баллов
1988 год - г. Спитак - погибло несколько десятков тысяч человек
1976 год - Китай -число жертв сотни тысяч человек
Противостоять разрушительным последствиям землетрясений возможно только путем строительства сейсмостойких зданий. Но в каких районах Земли случится следующее землетрясение?
Предсказание землетрясений - сложнейшая задача. Решением этой задачи заняты многие научно-исследовательские институты многих стран мира. Исследование сейсмических волн внутри нашей Земли позволяет изучить глубинное строение планеты. Кроме того, сейсмическая разведка помогает обнаруживать места, благоприятные для скопления нефти и газа. Сейсмические исследования проводятся не только на Земле, но и на других небесных телах.
В 1969 году американские астронавты разместили сейсмические станции на Луне. Ежегодно они регистрировали от 600 до 3000 слабых лунотрясений. В 1976 году с помощью космического корабля "Викинг" (США) сейсмограф был установлен на Марсе..
СДЕЛАЙ САМ
Волны на бумаге.
С помощью звучащей трубки можно поставить немало опытов.
Если, например, на мягкую подложку, лежащую на столе, положить лист плотной светлой бумаги, сверху насыпать слой кристаллов марганцовки, посредине листа вертикально поставить стеклянную трубку и возбудить в ней трением колебания, то при появлении звука кристаллы марганцовки придут в движение и образуют красивые линии. Трубка должна лишь слегка касаться поверхности листа. Появляющийся на листе рисунок будет зависеть от длины трубки.
Трубка возбуждает колебания в бумажном листе. В листе бумаги образуется стоячая волна, которая является результатом интерференции двух бегущих волн. От конца колеблющейся трубки возникает круговая волна, которая без изменения фазы отражается от края бумаги. Эти волны когерентны и интерферируют, распределяя на бумаге кристаллики марганцовки в причудливые узоры.
ОБ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
В своей лекции "О корабельных волнах" лорд Кельвин рассказывал:
"...одно открытие фактически сделано лошадью, ежедневно тащившей лодку по канату между Глазго
и Ардроссаном. Однажды лошадь понеслась, и возница, будучи наблюдательным человеком, заметил, что, когда лошадь достигла определенной скорости, тянуть лодку стало явно легче
и позади нее не осталось волнового следа".
Объяснение этого явления заключается в том, что скорость лодки и скорость волны, которую возбуждает лодка в реке, совпали.
Если бы лошадь побежала еще быстрее (скорость лодки стала бы больше скорости волны),
то за лодкой возникла бы ударная волна.
Ударная волна от сверхзвукового самолета возникает точно так же.
Предположим, что точка, совершающая колебание находится в среде, все частицы
которой связаны между собой. Тогда энергия ее колебания может передаваться окружаю -
щим точкам, вызывая их колебание.
Явление распространения колебания в среде называется волной.
Заметим сразу, что при распространении колебаний в среде, т. е. в волне, колеблю -
щиеся частицы не перемещаются с распространяющимся колебательным процессом, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса массы вещества.
Продольные и поперечные волны
Если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения колеба -
ний, то волна называется поперечной; рис. 1, здесь -ускорение, - смещение,- ампли -
туда, - период колебаний.
Если частицы колеблются по той же прямой, вдоль которой распространяется
колебание, то мы назовем волну продольной; рис. 2, где -ускорение, - смещение,
Амплитуда, - период колебаний.
Упругие среды и их свойства
Являются ли волны, распространяющиеся в среде, продольными или поперечными
– зависит от упругих свойств среды.
Если при сдвиге одного слоя среды по отношению к другому слою возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия, то в среде могут распространяться поперечные волны. Такой средой служит твердое тело.
Если в среде не возникают упругие силы при сдвиге параллельных слоев друг относительно друга, то поперечные волны не могут образоваться. Например, жидкость и газ представляют среды, в которых поперечные волны не распространяются. Последнее не относится к поверхности жидкости, в которой могут распространяться и поперечные волны, носящие более сложный характер: в них частицы движутся по замкнутым круго -
вым траекториям.
Если в среде возникают силы упругости при деформации сжатия или растяжения, то в среде могут распространяться продольные волны.
В жидкости и газе распространяются только продольные волны.
В твердых телах продольные волны могут распространяться наряду с поперечны –
Скорость распространения продольных волн – обратно пропорциональна корню квадратному из коэффициента упругости среды и ее плотности :
т. к. приближенно - модулю Юнга среды, то (1) можно заменить следующим:
Скорость распространения поперечных волн зависит от модуля сдвига :
(3)
Длина волны, фазовая скорость, волновая поверхность, фронт волны
Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один
период колебания, называется длиной волны, длину волны обозначим буквой .
|
|
На рис. 3 графически интерпретирована зависимость между смещением частиц среды, участвующих в вол - новом процессе, и расстоянием этих частиц, например, частицы , от источника колебаний для какого – то фиксированного момента времени. Приведенный гра - фик – это график гармонической поперечной волны, которая распространяется со скоростью вдоль направ - ления распространения . Из рис. 3 ясно, что длина волны представляет собой наименьшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Хотя, приведенный график , похож на график гармони – ческого колебания, но они различны по существу: если |
график волны определяет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, то график колебаний – зависимость сме -
щения данной частицы от времени.
Под скоростью распространения волны подразумевается ее фазовая скорость, т. е. скорость распространения данной фазы колебания; например, в момент времени точка , рис.1, рис. 3 имела какую – то начальную фазу, т. е. выходила из поло - жения равновесия; то через промежуток времени такую же начальную фазу приобрела точка , отстоящая от точки на расстоянии . Следовательно начальная фаза за время, равное периоду распространилась на расстояние . Отсюда для фазовой скорости по -
лучаем определение:
Представим, что точка, от которой идут колебания (центр колебания) колеблется в сплошной среде. Колебания распространяются от центра во все стороны.
Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны.
Можно также в среде выделить геометрическое место точек, колеблющихся в оди -
наковых фазах; эта совокупность точек образует поверхность одинаковых фаз или волно -
вую поверхность. Очевидно, что фронт волны является частным случаем волновой по -
верхности.
Форма фронта волны определяет типы волн, например, плоской волной называется волна, фронт которой представляет плоскость, и т. д.
Направления, в которых распространяются колебания, называются лучами. В изо -
тропной среде лучи нормальны к фронту волны; при сферическом фронте волны лучи на -
правлены по радиусам.
Уравнение бегущей синусоидальной волны
Выясним, каким образом можно аналитически охарактеризовать волновой процесс,
рис. 3. Обозначим через смещение точки из положения равновесия. Волновой процесс будет известен, если знать, какое значение имеет в каждый момент времени для каждой точки прямой, вдоль которой распространяется волна.
Пусть колебания в точке рис. 3 , происходят по закону:
(5)
здесь - амплитуда колебаний; - круговая частота; - время, отсчитанное от момента начала колебаний.
Возьмем на направлении произвольную точку , лежащую от начала коорди -
нат на расстоянии . Колебания, распространяясь от точки с фазовой скоростью (4), дойдут до точки через промежуток времени
Следовательно, точка начнет колебаться на время позже точки . Если волны не затухают, то ее смещение из положения равновесия будет
(7)
где
-
время, отсчитанное от того момента,
когда точка
начала
колебаться, которое связано со временем
следующим образом:
,
потому что точка
начала
колебаться на промежуток времени
позже;
подставляя это значение
в (7), получим
или, используя здесь (6), имеем
Это выражение (8) дает смещение как функцию времени и расстояния точки от центра колебаний ; оно представляет собою искомое уравнение волны, распространя -
ющейся вдоль , рис. 3.
|
|
Формула (8) представляет собой уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль Действительно, в этом случае любая плоскость , рис. 4, перпендикулярная к направлению , представит собою поверх - ность одинаковых фаз, и, поэтому, все точки этой плоскости имеют в один и тот же момент времени одно и то же смещение , опреде - ляемое лишь расстоянием , на котором плоскость лежит от начала координат . Волна противоположного направления, чем у волны (8), имеет вид: Выражение (8) может быть преобразовано, если воспользоваться соотношением (4), по которому можно ввести волновое число : |
где - длина волны,
или, если вместо круговой частоты ввести обычную частоту, называемую еще и линей -
ной частотой, , то
Разберем на примере волны, рис. 3, следствия, вытекающие из уравнения (8):
a) волновой процесс – это процесс двоякопереодический: аргумент косинуса в (8) зависит от двух переменных – времени и координаты ; т. е. волна имеет двойную переодичность: в пространстве и во времени;
b) для данного момента времени уравнение (8) дает распределение смещения частиц как функцию их расстояния от начала координат;
c) частицы, колеблющиеся под влиянием бегущей волны в данный момент времени расположены по косинусоиде;
d) данная частица, характеризуемая определенным значением , совершает во времени гармоническое колебательное движение:
e) величина постоянна для данной точки и представляет собою начальную фазу колебаний в этой точке;
f) две точки, характеризуемые расстояниями и от начала координат, имеют разность фаз:
из (15) видно,
что две точки, отстоящие друг от друга
на расстоянии, равном длине волны
,
т. е. для которых
,
имеют разность фаз
;
а также они имеют для каждого данного
момента времени
одинаковые по величине и направле -
нию смещения ; про такие две точки говорят, что они колеблются в одинаковой фазе;
для точек,
отстоящих друг от друга на расстоянии
,
т. е. отстоящих друг от друга на полволны,
разность фаз по (15), равна
;
такие точки колеблются в противоположных
фазах – они имеют для каждого данного
момента смещения, одинаковые по
абсолютному значению, но разные по
знаку: если одна точка отклонена кверху,
то другая – книзу, и наоборот.
В упругой среде возможны волны иного вида, чем бегущие волны (8), например, сферические волны, у которых зависимость смещения от координат и времени имеет вид:
В сферической волне амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию от источника колебаний.
6. Энергия волны
Энергия участка среды, в которой распространяется бегущая волна (8):
складывается из кинетической энергии и потенциальной энергии . Пусть объем участка среды равен ; обозначим его массу через и скорость смещения его частиц – через , тогда кинетическая энергия
замечая, что , где - плотность среды, и находя выражение для скорости на основании (8)
перепишем выражение (17) в виде:
(19)
Потенциальная энергия участка твердого тела, подвергнутого относительной деформации , как известно, равна
(20)
где - модуль упругости или модуль Юнга; - изменение длины твердого тела из за воздействия на его концы сил, равных по значению величины , - площадь поперечного сечения.
Перепишем (20), вводя коэффицент упругости и деля, и умножая правую
часть его на , так
.
Если относительную деформацию представить, используя бесконечно малые, в виде , где - элементарная разность смещений частиц, отстоящих друг от друга на ,
. (21)
Определяя выражение для на основании (8):
запишем (21) в виде:
(22)
Сравнивая (19) и (22), мы видим, что и кинетическая энергия и потенциальная энергия меняются в одной фазе, т. е. синфазно и синхронно достигают максимума и минимума. Этим энергия участка волны существенно отличается от энергии колебания изолиро -
ванной точки, где при максимуме - кинетической энергии - потенциальная имеет минимум, и наоборот. При колебании отдельной точки полный запас энергии колебания остается постоянным, а т. к. основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса массы вещества, то полная энергия участка среды, в которой распространяется волна, не остается постоянной.
Сложим правые части (19) и (22), и подсчитаем полную энергию элемента среды объемом :
Так как по (1) фазовая скорость распространения волн в упругой среде
то (23) преобразуем так
Таким образом, энергия участка волны пропорциональна квадрату амплитуды, квадрату циклической частоты и плотности среды.
Вектор плотности потока энергии – вектор Умова.
Введем в рассмотрение плотность энергии или объемную плотность энергии упругой волны
где - объем волнообразования.
Видим, что плотность энергии, как и сама энергия - величина переменная, но т. к. среднее значение квадрата синуса за период равно , то в соответствии с (25) среднее значение плотности энергии
, (26)
|
|
при неизменных параметрах волнообразо - вания, будет для изотропной среды величиной неизменной, если в среде нет поглощения. В силу того, что энергия (24) не остается локализованной в данном объеме, а переме - щается в среде, можно ввести в рассмотрение понятие о потоке энергии. Под потоком энергии через поверх - ность будем подразумевать величину, чис - ленно равную количеству энергии, проходя - щей через нее в единицу времени. Возьмем поверхность , перпендикулярную к направлению скорости волны; тогда через эту поверхность за время, равное периоду, протечет количество энергии, равное энергии, |
заключенной в столбе поперечного сечения и длиной , рис. 5; это количество энергии равно среднему значению плотности энергии , взятому за период и умноженному на объем столба , отсюда
(27)
Средний поток энергии (среднюю мощность) получим, поделив это выражение на время, в течение которого энергия протекает через поверхность
(28)
или, используя (26), найдем
(29)
Количество энергии, протекающее в единицу времени через единицу поверхности, называется плотностью потока. По такому определению, применяя (28), получим
Таким образом - это вектор, направление которого определяется направлением фазовой скорости и совпадает с направлением распространения волны.
Этот вектор был впервые введен в теорию волн российским пофессором
Н. А. Умовым и носит название вектора Умова.
Возьмем точечный источник колебаний и проведем сферу радиуса с центром в источнике. Волна и энергия, которая с ней связана, будет распространяться по радиусам,
т. е. перпендикулярно к поверхности сферы. За период через поверхность сферы протечет энергия, равная , где - поток энергии через сферу. Плотность потока
мы получим, если эту энергию поделим на величину поверхности сферы и время:
Так как при отсутствии поглощения колебаний в среде и установившемся волновом процессе средний поток энергии постоянен и не зависит от того, какого радиуса прове -
дена сфера, то (31) показывает, что средняя плотность потока обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного источника.
Обычно энергия колебательного движения в среде частично переходит во внутрен -
нюю энергию.
Полное количество энергии, которое перенесет волна, будет зависеть от расстояния пройденного ей от источника: чем дальше от источника находится волновая поверхность, тем меньшей энергией она обладает. Так как по (24) энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то и амплитуда уменьшается по мере распространения волны. Предположим, что при прохождении слоя толщиной относительное уменьшение амплитуды пропорционально , т. е. напишем
,
где - постоянная величина, зависящая от природы среды.
Последнее равенство можно переписать
.
Если дифференциалы двух величин равны друг другу, то сами величины отличаются друг от друга на аддитивную постоянную величину , откуда
Постоянная определяется из начальных условий, что при величина равна , где - амплитуда колебаний в источнике волн, должна равняться , таким образом:
(32)
Уравнение плоской волны в среде с поглощением на основании (32) будет
Определим теперь убывание энергии волны с расстоянием. Обозначим - среднюю плотность энергии при , а через - среднюю плотность энергии на расстоянии , тогда по соотношениям (26) и (32), найдем
(34)
обозначим через и перепишем (34) так
Величина называется коэффициентом поглощения.
8. Волновое уравнение
Из уравнения волны (8) можно получить еще одно соотношение, которое нам понадобится дальше. Беря вторые производные от по переменным и , получим
откуда следует
Уравнение (36) мы получили дифференцируя (8). Обратно можно показать, что чисто переодическая волна, которой соответствует косинусоида (8), удовлетворяет дифферен -
циальному уравнению (36). Оно носит название волнового уравнения, т. к. установлено, что (36) удовлетворяет и ряд других функций, описывающих распространение волнового возмущения произвольной формы со скоростью .
9. Принцип Гюйгенса
Каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.
В этом и есть сущность принципа Гюйгенса, который иллюстрируется на следующих рисунках:
|
Рис. 6 Малое отверстие в преграде является источником новых волн |
Рис. 7 Построение Гюйгенса для плоской волны |
|
Рис. 8 Построение Гюйгенса для сферической волны, распространяющей - ся из центра |
Принцип Гюйгенса это – геометрический прин - цип. Он не затрагивает по существу вопроса об амплитуде, а следовательно, и об интенсивности распространяющихся за преградой волн. |
Групповая скорость
Рэлей впервые показал, что наряду с фазовой скоростью волн имеет смысл
ввести понятие о другой скорости, называемой групповой скоростью. Групповая скорость относится к случаю распространения волн, сложного не косинусоидального характера в среде, где фазовая скорость распространения косинусоидальных волн зависит от их частоты.
Зависимость фазовой скорости от их частоты или длины волн называется дисперсией волн.
Представим себе на поверхности воды волну в виде единичного горба или солитон, рис. 9, распространяющегося в определенном направлении. По методу Фурье такое слож -
ное колебание может быть разложено на группу чисто гармонических колебаний. Если все гармонические колебания распространяются по поверхности воды с одинаковыми скорос -
тями, то с той же скоростью будет распространяться и образуемое ими сложное колеба -
ние. Но, если скорости отдельных косинусоидальных волн различны, то непрерывно меняются разности фаз между ними, и горб, возникающий в результате их сложения, непрерывно меняет свою форму и перемещается со скоростью, не совпадающей с фазовой скоростью ни одной из слагаемых волн.
Всякий отрезок косинусоиды, рис. 10, тоже может по теореме Фурье разложен на бесчисленное множество неограниченных во времени идеальных косинусоид. Таким образом, всякая реальная волна представляет собой наложение – группу – бесконечных косинусоид, и скорость ее распространения в диспергирующей среде отлична от фазовой скорости слагаемых волн. Эта скорость распространения реальных волн в диспергирую -
щей среде и носит название групповой скорости. Только в среде, лишенной дисперсии, реальная волна распространяется со скоростью, совпадающей с фазовой скоростью тех косинусоидальных волн, сложением которых она образована.
Предположим, что группа волн состоит из двух волн, мало различающихся по длине:
a) волны с длиной волны , распространяющиеся со скоростью ;
b)
волны с длиной волны
,
распространяющиеся со скоростью
Относительное расположение обеих волн для некоторого момента времени представлено на рис. 11. a. Горбы обеих волн сходятся в точке ; в одном месте расположен максимум результирующих колебаний. Пусть , тогда вторая волна обгоняет первую. Через некоторый промежуток времени она обгонит ее на отрезок ; в результате чего горбы обеих волн будут уже складываться в точке , рис. 11.b, т. е. место максимума результирующего сложного колебания окажется смещенным назад на отрезок, равный . Отсюда скорость распространения максимума результирующих колебаний относительно среды окажется меньше скорости распространения первой волны на величину . Эта скорость распространения максимума сложного колебания и есть групповая скорость; обозначая ее через ,имеем, т. е. чем сильнее выражена зависимость скорости распространения волн от их длины, называемая дисперсией.
Если
,
то короткие по длине волны обгоняют
более длинные; этот случай носит название
аномальной дисперсии
.
Принцип суперпозиции волн
При распространении в среде нескольких волн малой амплитуды выполняя -
ется, открытый Леонардо да – Винчи, принцип суперпозиции: колебание каждой частицы среды определяется как сумма независимых колебаний, которые совершали бы эти частицы при распространении каждой волны в отдельности. Принцип суперпозиции нарушается только для волн с очень большой амплитудой, например, в нелинейной оптике. Волны, характеризуемые одинаковой частотой и постоянной, не зависящей от времени, разностью фаз, называют когерентными; например, например, косинусоидаль -
ные или синусоидальные волны с одинаковой частотой.
Интерференцией называют сложение когерентных волн, в результате которого возникает устойчивое во времени усиление колебаний в одних точках и ослабление его в других. При этом происходит перераспределение энергии колебаний между соседними областями среды. Интерференция волн происходит только, если они когерентны.
Стоячие волны
Особым примером результата интерференции двух волн служат так
называемые стоячие волны, образующиеся в результате наложения двух встречных плоских волн с одинаковыми амплитудами.
|
Сложение двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях |
Предположим, что две плоские волны с одинаковыми амплитудами распростра - няются – одна по положительному напра - влению , рис. 12, другая – по отрица - тельному. Если начало координат взять в такой точ - ке, в которой встречные волны имеют одинаковые направления смещения, т. е. имеют одинаковые фазы, и выбрать отсчет времени так, чтобы начальные фазы ока - Упругих волн в упругой среде , стоячими волнами . 2. Изучить метод определения скорости распространения... к направлению распространения волны . Упругие поперечные волны могут возникать лишь в таких средах , которые обладают... Применение звуковых волн (1)Реферат >> ФизикаМеханических колебаний, излучения и распространения звуковых (упругих ) волн в среде , разрабатываются методы измерения характеристик звука... закономерностей излучения, распространения и приёма упругих колебаний и волн в различных средах и системах; условно её ... Ответы по курсу физикиШпаргалка >> Физика... упругой силы. T=2π·корень из m/k (с) – период, k – коэффициент упругости , m – масса груза. № 9. Волны в упругой среде . Длина волны . Интенсивность волны . Скорость волны Волны ... |
Продольные волны – это волны, в которых колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волнового процесса.
Возникновение вида волн зависит от упругих свойств среды, в которых распространяются волны.
В телах, в которых возможны упругие деформации сжатия, растяжения и сдвига одновременно могут быть продольные и поперечные волны – твердые тела.
В газах и жидкостях – продольные волны, т.к. они не обладают упругостью в отношении сдвига.
II. Характеристики волн. Уравнение волны.
Длина волны – расстояние между ближайшими точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах (l).
Период волны – время одного полного колебания точек волны (Т).
Частота волны – величина, обратная периоду (ν).
За время t = T волна распространяется на расстояние, равное l.
Введя понятия l и Т, можно говорить о скорости распространения волн.
Скорость распространения волн зависит от среды:
а) от ее плотности;
б) от упругости.
гдеЕ – модуль Юнга;
G – модуль сдвига.
Для твердых тел Е > G, поэтому Vпр > Vпопер.
Скорость распространения не зависит:
а) от формы импульса (т.е. как меняется со временем сжатие);
б) от величины сжатия.
Попробуем математически выразить процесс распространения волны. Источником волн является колеблющаяся система. Частицы среды, прилегающие к ней, также приходят в колебание.
Уравнение бегущей волны 
Уравнение бегущей волны определяет смещение любой точки среды, находящейся на расстоянии ℓ от вибратора в данный момент времени.
Отметим также, что частицы среды не перемещаются вслед за волной, а лишь колеблются около положения равновесия. Скорость распространения волны, это скорость распространения возмущения, вызывающего смещение частиц от положения равновесия.
Чтобы найти скорость смещения в волне колеблющейся частицы среды, берут производную от Х в формуле (2):
т.е. скорость частиц в волне меняется по тому же закону, что и смещение, но сдвинута по фазе относительно смещения на π/2.
Когда смещение достигает максимума, скорость частицы меняет знак, т.е. на мгновение обращается в нуль.
Аналогично можно найти закон изменения со временем ускорения частиц:
Ускорение также меняется по закону смещения, но направлено против смещения, т.е. сдвинуто по фазе относительно смещения на p.
Графики смещение, скорости и ускорения частиц волны.
Кроме продольных и поперечных волн, распространяющихся в сплошных средах, существуют другие виды волновых процессов:
поверхностные волны, возникают на поверхности раздела двух сред с разной плотностью.
Энергия волны
Объемная плотность энергии волны в упругой среде (w ), определяется следующим образом:
где - полная механическая энергия волны в объеме . Из (8.11) следует, что объемная плотность энергии плоских синусоидальных волн
Итак, область пространства, участвующая в волновом процессе, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волны, следовательно, волна переносит энергию.
Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой.
Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. НЕ СМОГЛА СОКРАТИТЬ. ИЗВИНИТЕ
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами Т в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат XOY, расположив начало координат в положении равновесия точки. Обозначим смещение точки С вдоль осей ОХ и OY, соответственно, через х и у. (рис 7.7)
Рассмотрим несколько частных случаев.
A. Начальные фазы колебаний одинаковы. Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей ОХ и OY можно выразить уравнениями:
Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С:
или
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат (рис. 7.7).
Б. Начальная разность фаз равна π Уравнения колебания в этом случае имеют вид:
Уравнение траектории точки
| (7.15) |
Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат, но лежащие в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна
В. Начальная разность фаз равна .
Уравнения колебаний имеют вид:
Разделим первое уравнение на , второе - на :
Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки
| (7.16) |
Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями и . При равных амплитудах траекторией суммарного движения будет окружность В общем случае при , но кратным, т.е. , при сложении, взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу. Конфигурация этих кривых зависит от соотношения амплитуд, начальных фаз и периодов составляющих колебаний.
|
или для потери давления: 
Физические параметры звука
Колебательная скорость измеряется в м/с или см/с. В энергетическом отношении реальные колебательные системы характеризуются изменением энергии вследствие частичной её затраты на работу против сил трения и излучение в окружающее пространство. В упругой среде колебания постепенно затухают. Для характеристики затухающих колебаний используются коэффициент затухания (S), логарифмический декремент (D) и добротность (Q).
Коэффициент затухания отражает быстроту убывания амплитуды с течением времени. Если обозначить время, в течение которого амплитуда уменьшается в е = 2,718 раза, через , то:
Уменьшение амплитуды за один цикл характеризуется логарифмическим декрементом. Логарифмический декремент равен отношению периода колебаний ко времени затухания :
Если на колебательную систему с потерями действовать периодической силой, то возникают вынужденные колебания , характер которых в той или иной мере повторяет изменения внешней силы. Частота вынужденных колебаний не зависит от параметров колебательной системы..
Свойство среды проводить акустическую энергию, в том числе и ультразвуковую, характеризуется акустическим сопротивлением. Акустическое сопротивление среды выражается отношением звуковой плотности к объёмной скорости ультразвуковых волн. Численно, удельное акустическое сопротивление среды (Z) находится как произведение плотности среды () на скорость (с) распространения в ней ультразвуковых волн.
Удельное акустическое сопротивление измеряется в паскаль -секунда на метр (Па·с/м)
Звуковое или акустическое давление в среде представляет собой разность между мгновенным значением давления в данной точке среды при наличии звуковых колебаний и статического давления в той же точке при их отсутствии. Иными словами, звуковое давление есть переменное давление в среде, обусловленное акустическими колебаниями. Максимальное значение переменного акустического давления (амплитуда давления) может быть рассчитано через амплитуду колебания частиц:
где Р - максимальное акустическое давление (амплитуда давления);
· f - частота;
· с - скорость распространения ультразвука;
· - плотность среды;
· А - амплитуда колебания частиц среды.
Для выражения звукового давления в единицах СИ используется Паскаль (ПаАмплитудное значение ускорения (а) определяется выражением:
Если бегущие ультразвуковые волны наталкиваются на препятствие, оно испытывает не только переменное давление, но и постоянное. Возникающие при прохождении ультразвуковых волн участки сгущения и разряжения среды создают добавочные изменения давления в среде по отношению к окружающему её внешнему давлению.
Ультразвук - упругие волны высокой частоты, которым посвящены специальные разделы науки и техники. Человеческое ухо воспринимает распространяющиеся в среде упругие волны частотой приблизительно до 16 000 колебаний в секунду (Гц); колебания с более высокой частотой представляют собой ультразвук (за пределом слышимости). Обычно ультразвуковым диапазоном считают полосу частот от 20 000 до нескольких миллиардов герц.
Применение ультразвука
Диагностическое применение ультразвука в медицине (УЗИ )
Основная статья: Ультразвуковое исследование
Благодаря хорошему распространению ультразвука в мягких тканях человека, его относительной безвредности по сравнению с рентгеновскими лучами и простотой использования в сравнении с магнитно-резонансной томографией ультразвук широко применяется для визуализации состояния внутренних органов человека, особенно в брюшной полости и полости таза .
Возможно, будет полезно почитать:
- Аббатство - это католический монастырь ;
- Самые распространенные расклады ;
- Быт и обычаи Обычаи и нравы 19 века ;
- К чему снятся жабы и лягушки: мужчине, девушке, женщине, беременной – толкования разных сонников ;
- Основные характеристики марса ;
- Должностная инструкция транспортного экспедитора ;
- Татаро-монгольское иго или история о том, как ложь стала правдой ;
- Журавль толкование сонника ;